Los 23 problemas de Hilbert

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Carlos Revilla Maroto

Los que me han leído a través de los años, saben que una de mis grandes aficiones son las matemáticas. Los entendidos dice que esta ciencia es perfecta, porque todo requiere una prueba y demostración. En eso radica su belleza y perfección. Por ejemplo, los griegos demostraron hace más de dos mil años, que hay un infinito número de números primos (que solo son divisibles por ellos mismos y la unidad). Cómo lo hicieron trasciende el objetivo de esta columna que es para el gran público, aunque sí algún lector curioso quiere saber como lo hicieron, puede leer el Anexo 2 (no es complicado).

Sin embargo, a través del tiempo han surgido teoremas o enunciados que se resisten a una demostración. Ya son muy pocos, pero ahí están desafiando a los matemáticos. De los más famosos que sí han sido resueltos, están el último teorema de Fermat y la solución por radicales de las ecuaciones de 5to grado o mayor.

De los no resueltos, hay una lista conocida como “Los 23 problemas de Hilbert” que es un listado de desafíos matemáticos, propuestos por el matemático alemán David Hilbert (pueden leer su biografía en el Anexo 1), en una conferencia pronunciada en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Anoto que a finales del siglo XIX, las matemáticas se encontraban en un período de rápido crecimiento e innovación. Hilbert, uno de los matemáticos más destacados de su tiempo, buscaba establecer una base sólida para las matemáticas y resolver algunas cuestiones fundamentales que habían desconcertado a los matemáticos durante mucho tiempo. La presentación de los problemas y la lista fue considerado como uno de los eventos más influyentes en la historia de las matemáticas, porque jugaron un papel crucial en la orientación del desarrollo de la disciplina en el siglo XX y más allá.

Entonces, por su importancia trataré de enumerar, de la forma más sencilla posible, esos 23 problemas o desafíos de Hilbert. Los problemas abarcaban una amplia variedad de áreas de las matemáticas, desde la teoría de números hasta la geometría, y fueron diseñados para estimular la investigación y el avance del conocimiento en el campo.

Al proponer estos 23 problemas, Hilbert tenía la visión de que resolverlos llevaría a avances significativos en el entendimiento matemático y, en última instancia, en la solución de problemas del mundo real.

La lista de Hilbert abordaba cuestiones de gran relevancia, como la continuidad y consistencia de los axiomas de la aritmética, la demostración de la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales, el estudio de curvas y superficies algebraicas, entre otros temas destacados. Uno de los problemas más famosos de la lista fue el problema 7, que finalmente condujo al desarrollo de la teoría de números transcendentales y tuvo implicaciones en el enfoque moderno de la teoría de números.

Con el paso del tiempo, muchos de los 23 problemas de Hilbert han sido resueltos o avanzados significativamente. Algunos de ellos, sin embargo, demostraron ser intratables y llevaron al desarrollo de nuevas ramas de las matemáticas en el intento de resolverlos. Por ejemplo, el problema 10, que trata sobre la determinación de la solubilidad de ecuaciones diófanas, influyó en la creación de la teoría de la complejidad computacional.

El desarrollo de la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica en el siglo XX también estuvo influenciado por los problemas de Hilbert. La teoría de conjuntos y los fundamentos de la matemática también recibieron un impulso significativo debido a la propuesta del problema 2, que buscaba probar la consistencia de los axiomas de la aritmética.

La lista de Hilbert demostró ser un catalizador para la investigación matemática y fomentó la colaboración y el desarrollo de nuevas áreas de estudio. Muchos de los problemas resueltos han llevado a avances tecnológicos y científicos que han transformado la sociedad moderna.

Del libro “Apocalipsis matemático” de Eduardo Saénz de Cabezón, transcribo los 23 Problemas de Hilbert y el estado en que se encuentran al día de hoy. Tengan en cuenta que el libro es del 2020, así que podría ser que alguno haya sido resuelto o por o menos tenga un avance (no pareciera). Eso si, el más importante de todos, por sus implicaciones, el de la hipótesis Reimann que está vinculada a la función zeta de Riemann, una función compleja que tiene importantes implicaciones en la teoría de números, en particular en la distribución de los números primos; sigue sin resolverse. De Reimann y la función zeta espero escribir en una futura columna.

“Los veintitrés problemas de Hilbert

Hace mucho que las matemáticas son demasiado grandes como para que una sola persona logre comprenderlas todas o al menos saber qué se hace en cada área, cuáles son los problemas más relevantes o las direcciones principales de la investigación. Quizá el último en poder hacerlo fue David Hilbert.

Hilbert vivió entre la segunda mitad del siglo XIX y la primera del siglo XX en Alemania y fue uno de los últimos grandes matemáticos. En el año 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos pronunció un discurso -que aún se recuerda y que quizá sea el más famoso de la historia de esta ciencia-, en el que presentó parte de su lista de veintitrés problemas que a su juicio eran los más importantes del momento y que marcarían las matemáticas del siglo XX. No se equivocaba: la lista de problemas de Hilbert ha sido fundamental en las matemáticas contemporáneas. Muchos de esos problemas, que verás a continuación, te sonarán a palabras sin sentido, de esas que si las lees al revés con velas negras rodeándote, invocas a Satanás. No te preocupes, no pasa nada si no tienes ni idea de qué van; y tranqui, que Satanás no va a aparecer hoy por tu casa. En la lista indico cuáles problemas han sido resueltos y cuáles no.

Los veintitrés problemas de Hilbert (léanse deprisa y con la boca llena)
1	La hipótesis del continuo: ¿existe algún conjunto mayor que los racionales pero menor que los reales?	Se demostró que es imposible resolver con los axiomas usuales de la matemática (axioma de Zermelo-Fraenkel). O sea, está solucionado pero raro.
2	Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes.	Parcialmente demostrado, aunque hay bastante discusión aún sobre el tema.
3	Dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?	Resuelto: la respuesta es NO.
4	Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas.	El enunciado es demasiado vago para saber si está resuelto o no. A veces pasan estas cosas.
5	¿Son todos los grupos continuos grupos diferenciables de forma automática?	Resuelto: la respuesta es SÍ.
6	Axiomatizar toda la física	Se ha resuelto bastante. Se han logrado axiomatizar: la mecánica clásica, la termodinámica, la relatividad especial, la física estadística y la teoría cuántica de campos.
7	Desarrollar la teoría de los números transcendentes y en particular, probar la trascendencia de ciertos números.	Resuelto: la respuesta es SÍ.
8	La hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach.	No resueltos, ninguno de los dos; seguramente son los problemas que todo matemático quisiera ver resueltos.
9	Encontrar la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier cuerpo numérico algebraico.	Parcialmente resuelto.
10	Encontrar un algoritmo que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene solución entera.	Resuelto: la respuesta es que NO puede existir tal algoritmo.
11	Resolver las formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos.	Parcialmente resuelto. Se ha resuelto sobre los racionales y sobre los enteros.
12	Extender el teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico base.	Está sin resolver.
13	Resolver todas las ecuaciones de séptimo grado usando funciones de dos parámetros.	Resuelto (el caso continuo): se ha demostrado que NO se pueden resolver todas así.
14	Probar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.	Resuelto: algunos de esos sistemas NO son finitos.
15	Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.	Parcialmente resuelto.
16	Describir las posiciones relativas de óvalos originados en una curva algebraica real y como ciclos límite de un polinomio en un campo vectorial en el plano.	Sin resolver (ni de lejos).
17	Expresión de una función definida racional como cociente de sumas de cuadrados.	Resuelto completamente.
18	¿Existe un poliedro que admita solo un teselado anisoedral en tres dimensiones? ¿Cuál es el empaquetado de esferas más denso?	Resuelto completamente.
19	¿Son siempre analíticas las soluciones de los lagrangiano (problemas regulares del cálculo de variaciones)?	Resuelto, y la respuesta es SÍ.
20	¿Tienen solución todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno?	Resuelto, y la respuesta es SÍ.
21	Probar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que tengan un grupo monodrómico prescrito.	Parcialmente resuelto.
22	Uniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas.	Resuelto.
23	Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.	El enunciado es demasiado vago para saber si se ha resuelto o no.

Espero que hayan podido llegar hasta aquí sin perder la razón.

Entonces, resumiendo, de los 23 problemas de Hilbert, 10 han sido resueltos completamente, 3 han sido parcialmente resueltos y 10 siguen sin resolverse.

Eduardo Saénz de Cabezón tiene un bonito e instructivo canal de YouTube, donde aborda de una forma sencilla (para los mortales) y amena, la mayoría de los temas y problemas de las matemáticas.

Como complemento, los dejo con un vídeo precisamente del canal Derivando titulado “¿Cuál es el problema matemático MÁS ANTIGUO que sigue sin resolverse?”

Para terminar, les menciono que modernamente también están los llamados Problemas del Milenio, que son siete problemas matemáticos fundamentales seleccionados por el Clay Mathematics Institute (CMI) en el año 2000. Resolver cualquiera de ellos conlleva un premio de 1 millón de dólares. Hasta la fecha, solo uno de los problemas ha sido resuelto. En esta nueva lista solo repite la hipótesis de Reimann. De esta nueva lista del milenio, también espero escribir en las próximas semanas (si quieren saber cuales son los problemas, pueden ver el Anexo 4).

En los anexos incluyo una pequeña biografía de David Hilbert, la demostración que hicieron los antiguos griegos que hay un infinito número de primos, y -como ejemplo- el enunciado de la conjetura de Goldbach, que aún está sin resolver.

Califique esta columna:

Referencias: La Wikipedia, “Apocalipsis matemático” de Eduardo Saénz de Cabezón, y algunos sitios menores de Internet consultados sobre el tema.

Anexo 1

David Hilbert, uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX, nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg, Prusia (actualmente Kaliningrado, Rusia). Fue el segundo de dos hijos de Otto Hilbert y Maria Theresia Erdtmann. Desde temprana edad, mostró un gran talento para las matemáticas y la ciencia, lo que lo llevó a perseguir una carrera académica en esta área.

En 1880, Hilbert ingresó en la Universidad de Königsberg para estudiar matemáticas. Durante sus estudios, tuvo la oportunidad de trabajar con matemáticos destacados de la época, como Ferdinand von Lindemann y Adolf Hurwitz. Después de obtener su doctorado en 1885, se convirtió en asistente de Lindemann y comenzó a destacarse en la comunidad matemática por su profundo conocimiento y su capacidad para resolver problemas difíciles.

En 1892, Hilbert fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Gotinga, uno de los centros más destacados para la investigación matemática en ese momento. Fue durante su tiempo en Gotinga cuando Hilbert realizó la mayoría de sus contribuciones más importantes a las matemáticas.

Hilbert fue un líder en la escuela formalista, una corriente que buscaba fundamentar las matemáticas en la lógica y los axiomas, alejándose de la intuición geométrica. Es famoso por su programa de axiomas para la geometría, que culminó en su libro «Grundlagen der Geometrie» (Fundamentos de la geometría) publicado en 1899.

En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos en París, Hilbert presentó su lista de 23 problemas matemáticos desafiantes, que se convertirían en una influencia significativa en el desarrollo de la matemática en el siglo XX.

Durante su carrera, Hilbert hizo contribuciones destacadas en áreas como el álgebra, la teoría de números, la teoría de ecuaciones integrales, la teoría de invariantes, el análisis matemático, la lógica matemática y la mecánica cuántica. Su trabajo en la teoría de ecuaciones integrales y las ecuaciones diferenciales parciales sentó las bases para muchos desarrollos posteriores en análisis funcional.

En 1912, Hilbert asumió el cargo de director del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Gotinga y contribuyó a convertir esta institución en un importante centro de investigación matemática en Europa.

Durante la Primera Guerra Mundial, Hilbert participó activamente en esfuerzos de apoyo a la guerra, pero después del conflicto, se convirtió en un firme defensor de la paz y la cooperación internacional entre científicos y matemáticos.

A lo largo de su vida, Hilbert recibió numerosos honores y reconocimientos por su trabajo matemático, y fue miembro de varias academias y sociedades científicas. Su influencia y legado en las matemáticas son incalculables, y su enfoque formalista ha tenido un impacto duradero en la fundamentación y desarrollo de la disciplina.

David Hilbert falleció el 14 de febrero de 1943 en Gotinga, Alemania. Su legado perdura en la comunidad matemática, y su nombre sigue siendo sinónimo de excelencia y profundidad en el campo de las matemáticas.

Anexo 2

Demostración que hay un número infinito de números primos

Los griegos, especialmente Euclides, demostraron que hay un número infinito de números primos utilizando un método llamado reducción al absurdo (o reductio ad absurdum), que se conoce como “La Demostración de Euclides”.

Una explicación sencilla de cómo lo hicieron:

Suposición inicial: Supongamos que hay un número finito de números primos, y los enumeramos como

𝑝1,𝑝2,𝑝3,…,𝑝𝑛

Construcción de un nuevo número: Multiplicamos todos estos números primos y le sumamos 1, obteniendo el número

𝑃=𝑝1⋅𝑝2⋅𝑝3⋅…⋅𝑝𝑛+1

Análisis del nuevo número: Este nuevo número 𝑃 no puede ser divisible por ninguno de los números primos que hemos listado, porque al dividir 𝑃 por cualquiera de estos primos, siempre queda un residuo de 1.

Contradicción: Si 𝑃 no es primo, entonces debe ser divisible por algún número primo que no está en nuestra lista original. Pero esto contradice nuestra suposición inicial de que teníamos todos los números primos en nuestra lista.

Conclusión: Por lo tanto, nuestra suposición inicial debe ser falsa, y hay más números primos de los que habíamos supuesto. Esto significa que hay un número infinito de números primos.

Esta demostración es una de las primeras pruebas matemáticas conocidas y sigue siendo una excelente muestra de razonamiento lógico.

Anexo 3

La Conjetura de Goldbach

La Conjetura de Goldbach es uno de los problemas más antiguos y famosos en la teoría de números. Fue propuesta por el matemático prusiano Christian Goldbach en 1742. Aquí está la esencia de la conjetura:

Para números pares mayores que 2, la conjetura afirma que:

Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos.

Ejemplos

4 se puede escribir como 2+2
6 se puede escribir como 3+3
8 se puede escribir como 3+5
10 se puede escribir como 5+5 o 3+7

Estado actual

Hasta ahora, la Conjetura de Goldbach ha sido probada para números pares muy grandes usando computadoras, pero no se ha encontrado una prueba general que la demuestre para todos los números pares. La conjetura sigue siendo una de las preguntas abiertas más importantes en matemáticas.

Anexo 4

Problemas del Milenio

Son siete problemas matemáticos fundamentales seleccionados por el Clay Mathematics Institute (CMI) en el año 2000. Resolver cualquiera de ellos conlleva un premio de 1 millón de dólares. Hasta la fecha, solo uno de los problemas ha sido resuelto. Aquí está la lista completa:

1. Hipótesis de Riemann
2. Conjetura de Poincaré (RESUELTO)
3. Problema P vs NP
4. Existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes
5. Conjetura de Hodge
6. Teoría de Yang-Mills y la brecha de masa
7. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer