Hay infinitos más grandes que otros

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Carlos Revilla Maroto

“¡El infinito! Ninguna otra cuestión ha afectado tan profundamente el espíritu humano.”
Dadid Hilbert

El infinito como concepto, su significado en los diferentes ámbitos de estudio y su verdadera aplicación práctica ha supuesto a lo largo de la historia un verdadero enigma, se ha convertido en un misterio permanente para todo aquel que pretendiera sumergirse en su análisis y comprensión. La acepción más común del término, habitualmente asociada a disciplinas como la física, las matemáticas, la astronomía o la química, no ha hecho más que generar barreras para todo aquel con curiosidad e inquietud por descifrar el ámbito real de su alcance.

La percepción del infinito como algo conceptualmente grande, inabarcable, eterno, que no termina, que no representa un número, que sobre todo es una idea, quizá una asociación de ellas, ofrece una visión de lo obvio que es comprender el hecho de que el infinito es interminable.

Desde la antigüedad, la idea de infinito fue objeto de estudio por parte de los clásicos de Grecia y Roma, como Zenón de Elea, Parménides, Arquímedes, Pitágoras pero, sobre todo, Aristóteles, quien nos dejó su pensamiento en el año 350 a.c., sin duda el referente que impulsó el desarrollo de un concepto que posteriormente se asentó gracias a otros eruditos que ofrecieron una aportación decisiva a lo que hoy entendemos por infinito.

Al escribir sobre este tema, es obligatorio hablar del matemático que revolucionó el infinito, el alemán George Cantor, quien afirmó, en el siglo XIX, algo que hoy parece obvio pero en aquel momento fue muy controversial: el todo es más grande que cualquiera de sus partes, esto para entender que hay infinitos más grandes que otros. En el anexo pueden leer una pequeña biografía de Cantor.

Voy a escribir sobre el concepto del infinito, específicamente en el área de las matemáticas, que es el que me interesa. Pero antes de hacerlo, es necesario explicar que es la teoría de conjuntos, desarrollada, precisamente, por Cantor y que ha sido ampliamente aceptada y utilizada en el campo de las matemáticas desde entonces.

La teoría de conjuntos es una rama fundamental de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones entre los conjuntos. Un conjunto es una colección bien definida de objetos, llamados elementos, que pueden ser números, letras, objetos físicos u otros conjuntos. Los conjuntos se representan generalmente mediante llaves {} y se enumeran los elementos separados por comas. Pues bien, en el contexto de la teoría de conjuntos, existen diferentes tamaños de infinito. Esto puede parecer contradictorio o contra intuitivo, pero es un resultado sorprendente de esta teoría.

Cantor demostró que hay diferentes “grados” de infinito al comparar el tamaño de diferentes conjuntos infinitos utilizando la noción de cardinalidad. La cardinalidad de un conjunto se refiere a su tamaño, representado por un número llamado cardinal. Además demostró que el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, …) tiene una cardinalidad menor que el conjunto de los números reales. Aunque ambos conjuntos son infinitos, el conjunto de los números reales es “más grande” en términos de cardinalidad que el conjunto de los números naturales. Esto se conoce como el “teorema de la correspondencia de Cantor”. Aunado a esto, demostró que no hay una correspondencia uno a uno entre los números naturales y los números reales, lo que implica que hay más números reales que números naturales, a pesar que ambos conjuntos son infinitos.

Esto significa que, en el sentido de la cardinalidad, hay infinitos más grandes que otros. La cardinalidad del conjunto de los números reales se denomina cardinalidad del continuo y se denota por el símbolo ℵ (álef,primera letra del alfabeto hebreo). En general, el signo se usa para referirse a ciertos números transfinitos que de hecho resultan ser números ordinales iniciales y por tanto números cardinales.

Es importante tener en cuenta que esta noción de “tamaño” se basa en conceptos de la teoría de conjuntos y no en el sentido común de comparar números infinitos en la vida cotidiana. En el contexto matemático de la teoría de conjuntos, los diferentes tamaños de infinito se han demostrado y son un resultado establecido.

Sobre este tema, otro matemático, David Hilbert (1862-1943), formuló la que se conoce como la “Paradoja de Hilbert”, también conocida como “Paradoja del Hotel Infinito”. Esta basada en la noción del infinito y, plantea situaciones que parecen contradecir la intuición común. En efecto, una paradoja en matemáticas es una situación o proposición que parece contradecir o desafiar la lógica y las reglas matemáticas establecidas. Estas paradojas a menudo generan sorpresa, desconcierto e incluso contradicciones aparentes en el razonamiento matemático.

Hilbert en muy conocido porque en 1900, presentó una lista de 23 problemas matemáticos en el Congreso Internacional de Matemáticos, conocidos como los “Problemas de Hilbert”. Estos problemas plantearon desafíos importantes y estimularon el avance de la investigación matemática en diversas áreas. Espero en una próxima columna escribirles sobre estos problemas, que la mayoría siguen sin resolverse o probarse.

Volviendo a la paradoja, esta se formula de la siguiente manera: Imaginen un hotel con un número infinito de habitaciones numeradas de forma consecutiva: la habitación 1, la habitación 2, la habitación 3, y así sucesivamente hasta el infinito. Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas por huéspedes.

Ahora llega un nuevo huésped y solicita una habitación. ¿Es posible alojar a este nuevo huésped sin rechazar a ninguno de los huéspedes ya presentes en el hotel? La respuesta es sorprendente: sí, es posible acomodar al nuevo huésped y a todos los demás, sin rechazar a ninguno.

Para lograr esto, el hotel debe seguir ciertas reglas. Primero, se le pide al huésped de la habitación 1 que se mueva a la habitación 2, al huésped de la habitación 2 que se mueva a la habitación 3, y así sucesivamente. De esta manera, todas las habitaciones se desplazan hacia adelante y se libera la habitación 1 para el nuevo huésped.

Luego, para acomodar a los huéspedes existentes y a un número infinito de nuevos huéspedes, cada huésped debe moverse a la habitación que tiene un número dos veces mayor que la habitación en la que se encuentra actualmente. Por ejemplo, el huésped de la habitación 1 se mueve a la habitación 2, el huésped de la habitación 2 se mueve a la habitación 4, el huésped de la habitación 3 se mueve a la habitación 6, y así sucesivamente. De esta manera, todas las habitaciones con números pares quedan ocupadas por los huéspedes existentes y las habitaciones con números impares quedan libres para los nuevos huéspedes.

Esta paradoja muestra cómo la noción de infinito puede conducir a resultados aparentemente contradictorios. Aunque en el mundo real no existen hoteles con un número infinito de habitaciones, esta paradoja es un ejemplo interesante de cómo los conceptos matemáticos pueden desafiar nuestra intuición y llevarnos a resultados sorprendentes. Pueden ver esta paradoja explicada en vídeo, que ayuda a comprenderla mejor.

Los enunciados de Cantor sobre el infinito, no fueron de aceptación inmediata por la mayoría de los matemáticos de la época, de hecho a Cantor casi lo envían a un manicomio, creyendo que estaba loco.

Sobre este tema, existe un vídeo muy interesante del profesor de matemáticas Eduardo Sáenz de Cabezón, que de una forma amena y entretenida, explica todo este tema de los infinitos. Les recomiendo repasar su canal Derivando en youtube, donde uno aprende matemáticas de forma divertida, y podemos conocer las curiosidades que rodean la disciplina.

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Bibliografía consultada

Lamúa, Antonio. Los secretos del infinito, 150 respuestas al enigma. Editorial Librero 2018
Varios. El libro de las matemáticas. Ediciones DK Penguin Random House 2019

Biografía Georg Cantor (1845-1918)

Fue un matemático alemán que nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo, Rusia, y falleció el 6 de enero de 1918 en Halle, Alemania. Es conocido principalmente por sus contribuciones revolucionarias a la teoría de conjuntos y por su comprensión del infinito.

Cantor creció en una familia de origen judío y recibió una sólida educación en matemáticas y música. Inicialmente, estudió en la Universidad de San Petersburgo, donde se destacó en matemáticas y filosofía. Más tarde, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió con reconocidos matemáticos de la época.

En 1874, Cantor inició sus estudios sobre la teoría de conjuntos. Desarrolló el concepto de cardinalidad, introduciendo la noción de «números transfinitos» para describir diferentes tamaños de infinito. Cantor demostró que los conjuntos infinitos pueden tener diferentes tamaños y que existen infinitos mayores que otras. Su descubrimiento del «paradoja de Cantor» – la existencia de conjuntos infinitos no numerables – causó controversia y resistencia inicial entre algunos matemáticos.

A lo largo de su carrera, Cantor también se interesó en otros temas, como la teoría de números, análisis matemático y series trigonométricas. Sin embargo, sus contribuciones más significativas se encuentran en el campo de la teoría de conjuntos.

A pesar de sus logros, Cantor enfrentó críticas y rechazo por parte de algunos colegas matemáticos. La noción de infinito y la existencia de conjuntos infinitos no numerables desafiaban las creencias matemáticas y filosóficas tradicionales de la época. A pesar de esto, Cantor continuó trabajando en sus ideas y publicó numerosos artículos y libros sobre la teoría de conjuntos.

Hoy en día, la contribución de Cantor a la matemática moderna es ampliamente reconocida y valorada. Sus ideas sobre el infinito y la teoría de conjuntos han tenido un profundo impacto en diferentes ramas de las matemáticas y han sentado las bases para desarrollos posteriores en el campo. Cantor es considerado uno de los matemáticos más influyentes de su tiempo y su legado perdura en la matemática contemporánea.