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Carlos Revilla Maroto
Antes de continuar, hago una aclaración importante: voy a tratar al máximo de no usar fórmulas, para que esto sea para el gran público y no “sánscrito” que solo entienden unos pocos iluminados; aunque, eso si, sacrificando la rigurosidad.
Entro en materia diciendo que el misterio radica, en cómo se distribuyen los primos entre los números naturales. Aunque sabemos que los números primos se vuelven más escasos a medida que los números crecen, no hay una fórmula sencilla que diga con certeza dónde aparecerá el próximo. Los primos parecen aparecer de manera “caótica” o irregular, aunque en conjunto siguen ciertas tendencias que la teoría matemática intenta describir.
Lo anterior nos lleva a la famosa hipótesis de Riemann, que es uno de los misterios más célebres. Propuesta en 1859 por Bernhard Riemann, la hipótesis conecta la distribución de los primos con los ceros de la llamada función zeta de Riemann. Si esta hipótesis es cierta (lo que aún no se ha demostrado ni refutado), nos daría un conocimiento mucho más profundo sobre cómo se distribuyen los números primos. Es uno de los problemas del milenio, con un premio de un millón de dólares por su resolución o demostración.
Por esa razón se dice que los números primos mantienen patrones ocultos, aunque también se han descubierto patrones parciales, como la posible existencia de infinitos pares de primos gemelos (pares de primos que difieren en 2, como 11 y 13), aunque esto es algo que todavía no se ha probado rigurosamente. A este problema se le conoce como la “conjetura de los primos gemelos”.
Los primos parecen aleatorios, pero no lo son: tienen una estructura muy profunda que los matemáticos siguen intentando entender.
Se han descubierto aplicaciones inesperadas, por ejemplo los números primos juegan un papel clave en la criptografía moderna (como en los sistemas de cifrado como RSA), lo que añade un aspecto práctico a su estudio.
En última instancia, el gran misterio es: ¿por qué los primos se comportan como lo hacen? No entendemos del todo por qué su distribución es como es, aunque podemos describirla estadísticamente.
Sobre este tema es interesante conocer la historia de Carl Friedrich Gauss (1777–1855) y los números primos. Gauss es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, conocido como el príncipe de las matemáticas, y la anécdota es una de esas que muestran el genio precoz de este extraordinario matemático.
Cuando Gauss era muy joven —alrededor de 15 o 16 años— ya estaba interesado en los números primos. No es que los descubriera (se conocían desde la antigüedad), pero lo que hizo fue algo muy avanzado para su edad: comenzó a estudiar cómo se distribuyen los números primos entre los números naturales.
A mano, sin computadora, Gauss empezó a contar cuántos números primos había hasta ciertos límites (por ejemplo, hasta 100, hasta 1,000, hasta 10,000) y anotaba cuántos encontraba. A partir de esas listas, se dio cuenta de que la proporción de números primos disminuye a medida que se avanza en los números naturales. Pero, sorprendentemente, lo hace de una manera que sigue un patrón aproximado.
Gauss intuyó que los primos son menos frecuentes a medida que los números crecen, incluso ideo una fórmula para calcular la tasa aproximada de decaimiento. También ideo otra fórmula para calcular la tasa de crecimiento de los primos hasta un número n. Esto fue una intuición asombrosamente precisa, lograda sin las herramientas modernas del análisis complejo, solo con talento y trabajo empírico.
Esta idea de Gauss es la base de lo que hoy llamamos el “Teorema de los números primos” (demostrado formalmente muchos años después).
¿Por qué esto es tan asombroso? Gauss intuyó una de las leyes fundamentales de la distribución de los primos, mucho antes de que existiera la maquinaria matemática para demostrarla rigurosamente. Además, este patrón es aproximado, lo que significa que los primos no siguen una fórmula exacta, sino una tendencia estadística. Y justamente eso es parte del “misterio” de los números primos: son impredecibles individualmente, pero siguen reglas globales.
El trabajo de Gauss inspiró a generaciones posteriores de matemáticos a tratar de entender a fondo la distribución de los primos. Su fórmula es aún hoy uno de los pilares de la teoría de los números primos.
Ahora pasemos al siguiente capítulo del misterio.
Lo que hizo Gauss fue sorprendente, pero no publicó formalmente este hallazgo; solo lo mencionó en su cuaderno personal. Décadas después, otros matemáticos como Chebyshev trabajaron en refinar esta observación. Finalmente, a fines del siglo XIX, se formuló formalmente el Teorema de los números primos.
Y ahora si, aquí es donde entra en juego otro gran matemático Bernhard Riemann (1826–1866), quien con apenas memoria de unas pocas páginas, hizo una revolución.
Riemann estudió una función que ya se conocía desde tiempos de Euler: la función zeta. Pero lo que hizo Riemann fue mucho más audaz: extendió esta función a los números complejos y estudió sus propiedades. En su honor ahora la función se conoce como la función zeta de Riemann.
Riemann descubrió que la distribución de los primos está relacionada de manera profunda con los ceros de la función zeta, es decir cuando los valores de esa función es cero. Conjeturó que todos los ceros no triviales tienen una parte real igual a 1/2.
Antes de seguir explico algo: la función z es compleja, por lo que tiene una parte real y otra imaginaria, es decir, se da en el plano de los números complejos. Se habla de ceros triviales y no triviales, porque hay un momento en que la función da como resultado cero, pero cuando esto sucede en la parte negativa del plano, estos ceros no interesan, por eso son ceros triviales. En cambio los ceros de la parte positiva del plano son muy importantes, y por eso se conocen como ceros no triviales. Lo anterior dio lugar a la famosa hipótesis de Riemann.
¿Por qué importa? Resulta que la distribución de los números primos está íntimamente conectada con estos ceros no triviales: cuanto más “ordenados” estén los ceros, más regular es la distribución de los primos.
Entonces, si la hipótesis es verdadera, tendríamos un control increíblemente preciso sobre cómo se distribuyen los primos.
Si fuera falsa, los primos serían más erráticos de lo que esperamos.
Pero el misterio continúa. Hasta hoy (junio de 2025), la hipótesis de Riemann sigue sin demostrarse ni refutarse. Miles de ceros no triviales (sobre la recta en el plano de 1/2) han sido verificados numéricamente, y todos cumplen la conjetura, pero no hay una prueba general. Y como ya sabemos, en matemáticas las cosas tiene que demostrarse para tener validez.
En resumen:
- Gauss descubrió empíricamente cómo crecen los primos.
- Riemann explicó que esta distribución se puede entender analizando la función zeta.
- Los ceros de esta función contienen el “código secreto” de los números primos.
- Nadie ha logrado descifrar este código por completo (por eso sigue siendo un misterio).
Entonces sabemos que los primos no son realmente aleatorios: en el fondo siguen reglas precisas. La función zeta de Riemann es como un “puente” entre este comportamiento aparentemente caótico y una estructura matemática profunda.
Si los ceros están perfectamente alineados (como dice la hipótesis de Riemann), entonces las fluctuaciones de los primos son controladas y predecibles en cierto sentido, pero si no lo están, podría haber irregularidades inesperadas. De ahí la importancia de la demostración.
Ahora vamos al otro gran misterio, que es la relación de los números primos con la física cuántica.
Y aquí es donde la historia se vuelve aún más sorprendente.
En la década de 1970, los físicos descubrieron que las distancias entre los ceros de la función zeta se comportan estadísticamente igual que los niveles de energía en ciertos sistemas cuánticos caóticos.
Específicamente, se parecen a los espectros de energía de núcleos atómicos complejos, donde el comportamiento es gobernado por matrices aleatorias.
Conclusión sorprendente: los ceros no triviales que codifican la distribución de los primos, siguen patrones similares a los sistemas físicos más caóticos que conocemos.
¿Qué significa esto? Los números primos no son verdaderamente aleatorios, pero su “caos aparente” es similar al caos que aparece en la naturaleza.
Entonces, entender la función zeta y sus ceros podría no solo resolver un gran problema de matemáticas puras, sino también aportar pistas sobre sistemas físicos complejos.
Resumen final:
- Gauss descubrió la tendencia general de los primos.
- Riemann mostró que esta tendencia se relaciona con los ceros de la función zeta.
- Los ceros de la función zeta parecen comportarse como los niveles cuánticos de sistemas caóticos.
- El misterio de los primos está, por tanto, conectado con el misterio del caos en la naturaleza.
En última instancia, el gran misterio es: ¿por qué los primos se comportan como lo hacen? No entendemos del todo por qué su distribución es como es, aunque podemos describirla estadísticamente.
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Anexo
Algunas sugerencias de libros y anécdotas para explorar más este fascinante mundo de los números primos, la función zeta y el caos
Libros para público general
El enigma de los números primos, Marcus du Sautoy
Muy recomendable. Cuenta la historia de los matemáticos que persiguieron el misterio de los primos, desde Euclides hasta Riemann y más allá.
Explica también la conexión con la física cuántica.
La música de los números primos, Marcus du Sautoy (sí, el mismo autor, otro libro)
Más centrado en la función zeta y la obsesión por probar la hipótesis de Riemann.
Muy bien escrito, con anécdotas históricas.
Prime Obsession, John Derbyshire
Mitad divulgación, mitad matemáticas serias.
Alterna capítulos «históricos» con capítulos «matemáticos», así se puede leer según el nivel de interés técnico.
El libro de los números primos, Paulo Ribenboim
Una obra más técnica pero accesible. Contiene muchas curiosidades y resultados conocidos sobre los números primos.
Anécdotas y obsesiones
Riemann escribió solo un breve artículo sobre la función zeta en 1859. Casi no publicó nada más sobre ello. Sin embargo, ese trabajo de pocas páginas es uno de los más influyentes en la historia de las matemáticas.
Hardy y Littlewood, grandes matemáticos británicos, intentaron durante décadas comprender mejor la distribución de los primos. Hardy solía decir: «Nadie ha demostrado aún la hipótesis de Riemann, y nadie ha demostrado que sea falsa. Yo moriré sin saber la respuesta.»
Andrew Odlyzko, en el siglo XX, utilizó computadoras para calcular millones de ceros de la función zeta. Todos los ceros calculados hasta hoy cumplen la hipótesis de Riemann, pero sigue sin haber demostración.
Físicos del Instituto de Santa Fe y otros centros de física teórica han investigado cómo las técnicas de matrices aleatorias (usadas en física nuclear) modelan sorprendentemente bien los ceros de la función zeta. Esto ha creado un puente inesperado entre la teoría de números y la física cuántica.
Siempre he creído que mis primos son aleatorios.